Question

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函...

已知定义在R上的函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），且f（x）是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，则x∈[-4，0]时f（x）的表达式f（x）=_____2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2＜x≤0)2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2＜x≤0)．

Answer 1

解：函数y=f（x）满足f（2+x）=f（2-x），
得出f（x+4）=f（x+2+2）=f（2-x-2）=f（-x）=f（x），
故该函数是周期为4的函数．
由于该函数又是偶函数，当x∈[0，2]时，f（x）=2x-1，
故当x∈[-2，0]时，f（x）=f（-x）=-2x-1，
当x∈[-4，-2]时，x+4∈[0，2]，因此f（x）=f（x+4）=2（x+4）-1=2x+7，
因此，x∈[-4，0]时f（x）的表达式f（x）=2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2＜x≤0)．
故答案为：2x+7(-4≤x≤-2)-2x-1(-2＜x≤0)．