Question

已知定义在R上的函数y=f(x)满足f(2+x)=f(2-x),且f(x)是偶函数，当x∈[0,2]时，f(x)=2x-1

求函数在[-4,0]上的表达式
求详细过程，不要直接来答案

Answer 1

f(2+x)=f(2-x），则f(x)以x=2为对称轴
f(x)是偶函数，则f(x)也以x=0为对称轴
所以f(2+x)=f(2-x)=f(x-2), 即f(x)的周期为4
x在[-4,-2]时，x+4在[0,2], f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7
x在[-2,0]时，-x在[0,2], f(x)=f(-x)=2(-x)-1=-2x-1

追问

为什么能确定下面这两端是一次函数啊
x在[-4,-2]时，x+4在[0,2], f(x)=f(x+4)=2(x+4)-1=2x+7
x在[-2,0]时，-x在[0,2], f(x)=f(-x)=2(-x)-1=-2x-1

追答

因为()在[0,2]时都有f()=2()-1呀

追问

这样有什么用呢？……
()在[0,2]时都有f()=2()-1
这个能说明该函数在别的区间内也是一次函数么？

追答

其它区间不都转化为这个区间里了吗？
x在[-4,-2]时，x+4在[0,2], 所以也有f(x+4)=2(x+4)-1 呀x在[-2,0]时，-x在[0,2], 所以也有f(-x)=2(-x)-1 呀