如果关于的方程有且仅有一个正实数解,则实数的取值范围是________.
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由函数的定义域为,故我们可将关于的方程有且仅有一个正实数解,转化为方程有且仅有一个正实数解,求出函数的导函数后,分类讨论函数的单调性,即可得到答案.
解:由函数解析式可得:,如果关于的方程有且仅有一个正实数解,即方程有且仅有一个正实数解,构造函数则函数的图象与正半轴有且仅有一个交点.又当时,代入原方程知此时仅有一个正数解,满足要求;当时,则得在和上单调递增,在上单调递减,,知若要满足条件只有时,取到极小值,代入原方程得到正数解,满足要求;当时,,函数
与在时只有一个交点,满足题意,综上:或.故答案为:或
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据函数的定义域,将分式方程根的个数问题转化为整式方程根的个数问题是解答本题的关键.
解:由函数解析式可得:,如果关于的方程有且仅有一个正实数解,即方程有且仅有一个正实数解,构造函数则函数的图象与正半轴有且仅有一个交点.又当时,代入原方程知此时仅有一个正数解,满足要求;当时,则得在和上单调递增,在上单调递减,,知若要满足条件只有时,取到极小值,代入原方程得到正数解,满足要求;当时,,函数
与在时只有一个交点,满足题意,综上:或.故答案为:或
本题考查的知识点是根的存在性及根的个数判断,其中根据函数的定义域,将分式方程根的个数问题转化为整式方程根的个数问题是解答本题的关键.
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