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初一数学竞赛题 求解急解!1×2+2×3+3×4=?规律：1×2=1/3（1×2...

初一数学竞赛题 求解急解! 1×2+2×3+3×4=? 规律：1×2=1/3（1×2×3-0×1×2） 2×3=1/3（2×3×4-1×2×3） 3×4=1/3（3×4×5-2×3×4） 1×2+2×3+3×4=1/3×3×4×5=20 根据以上材料 推算出：①1×2+2×3+3×4+.+100×101=? ②1×2+2×3+3×4+...n(n+1)=? ③1×2×3+2×3×4+3×4×5+...n(n+1)(n+2)=? 答案正确加10分 不给我是猪! 求高人解 急!

Answer 1

看第一个是因为
1×2=1/3（1×2×3-0×1×2）
2×3=1/3（2×3×4-1×2×3）
3×4=1/3（3×4×5-2×3×4）
1×2+
2×3+3×4=1/3（1×2×3-0×1×2+2×3×4-1×2×3+3×4×5-2×3×4）
所有中间项都消掉了=1/3*(3×4×5-0×1×2)
1.对于100也一样
100*101=1/3(100*101*102-99*100*101)
相加后中间项全部消去了,得到1×2+2×3+3×4+.+100×101=1/3(100*101*102-0*1*2)=100*101*34
2.
最后一项变为了n(n+1)(n+2)而已,所以等于
1/3*n(n+1)(n+2)
3.类似可得
1*2*3=1/4(1*2*3*4-0*1*2*3)
n*(n+1)*(n+2)=1/4(n*(n+1)*(n+2)*(n+3)-(n-1)*n*(n+1)*(n+2))
中间项都消去得到1/4n*(n+1)*(n+2)*(n+3)