Question

高二数列题

1. 1*3+2*4+3*5+....+n(n+2)=
2. 1^2-2^2+3^2-4^2+....+99^2-100^2=

希望有具体求解过程~谢谢

Answer 1

1、先知道几个公式
(a + b) * (a - b) = a^2 - b^2 ……(1)
1 + 2 + …… + n = n(n+1)/2 …… (2)
1^3 + 2^3 + …… n^3 = [n (n+1) / 2]^2 ……(3)

先用（1）把k(k+1)(k+2)看作是(k+1) * (k+1 -1) * (k+1 +1)=(k+1) * [(k+1)^2 -1]=(k+1)^3 - (k+1)
反复运用 再把立方项放一块 就得到
上式 = 2^3 + 3^3 + ... + (n+1)^3 - [2 + 3 + ... (n+1)]
对立方项的部分加1^3 对后边的[2 + 3 + ... (n+1)]也加1
显然值是不变的
上式 = 1^3 + 2^3 +... + (n+1)^3 - [1 + 2 + ... (n+1)]
用公式(2)(3)
上式 = [(n+1)(n+2)/2]^2 - (n+1)(n+2)/2
提取公因子(n+1)(n+2)/4
上式 = (n+1)(n+2)/4 * [(n+1)(n+2) - 2]
= (n+1)(n+2)/4 * [n(n+3)]
= n(n+1)(n+2)(n+3)/4

2、(1^2+3^2+5^2+...+99^2)-(2^2+4^2+6^2+...+100^2)
=1^2-2^2+3^2-4^2......+99^2-100^2
=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4).....+(99+100)(99-100)
=-3-7-11.......-199
这是个等差数列,从0到100共有100项，但1，2是一个3，4是一个
所以有50个项。
解得-（3+199)*50/2
=-5050

（1^2+3^2+5^2+......+99^2)-(2^2+4^2+6^2+......+100^2)
=1^2+3^2+5^2+......+99^2-2^2-4^2-6^2-......-100^2
=1^2-2^2+3^2-4^2+....+99^2-100^2
=(1-2)(1+2)+(3-4)(3+4)+...+(99-100)(99+100)
=-1-2-3-4-...-99-100
=-(1+2+3+4+...+100)
=-(101*50)
=-5050