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不是一般性，令a>b>0
原极限=lim [n次根号a ]^n[( 1+n次根号(b/a))/2]^n
=a e^limn {ln[1+n次根号(b/a)] - ln2}
=ae^lim {ln[1+n次根号(b/a)] - ln2}/(1/n)
指数部分分子分母都趋于0，可以用罗比达法则得到
分子导数= (b/a)^(1/n) ln(b/a) *(-1/n^2) /[1+n次根号(b/a)]
~ -ln(b/a)/2n^2
分母导数=-1/n^2
两者比=ln(b/a)/2
所以极限= ae^ln(b/a)/2 = a 根号(b/a) =根号(ab)
原极限=lim [n次根号a ]^n[( 1+n次根号(b/a))/2]^n
=a e^limn {ln[1+n次根号(b/a)] - ln2}
=ae^lim {ln[1+n次根号(b/a)] - ln2}/(1/n)
指数部分分子分母都趋于0，可以用罗比达法则得到
分子导数= (b/a)^(1/n) ln(b/a) *(-1/n^2) /[1+n次根号(b/a)]
~ -ln(b/a)/2n^2
分母导数=-1/n^2
两者比=ln(b/a)/2
所以极限= ae^ln(b/a)/2 = a 根号(b/a) =根号(ab)
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