Question

xe^x的积分是多少?

Answer 1

先求不定积分，用分部积分

∫xe^xdx

=∫xde^x

=xe^x-∫e^xdx

=xe^x-e^x+C

=(x-1)*e^x+C

所以原式=(1-1)*e^1-(0-1)*e^0

=0+1

=1

一般定理

定理1：设f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积。

定理2：设f(x)区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积。

定理3：设f(x)在区间[a,b]上单调，则f(x)在[a,b]上可积。

牛顿-莱布尼茨公式

定积分与不定积分看起来风马牛不相及，但是由于一个数学上重要的理论的支撑，使得它们有了本质的密切关系。把一个图形无限细分再累加，这似乎是不可能的事情，但是由于这个理论，可以转化为计算积分。