Question

已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R），若对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立，则实数a的值为多少

求解题的步骤，要详细点哦，呵呵。谢了 答案为4
最好用导数解决

Answer 1

解：若对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立，则f(x)的最小值>=0，要求最值，就需要知道函增减关系，对函数f(x）求导，f’(x）=3ax^2-3,f’(x）=0时取极值，3ax^2-3=0，得x=±1/根号下a（a>0易证，将x=1带入函数得a-2≥0）
当1≤x≤0时，x=-1/根号下a有极值，
-1≤x≤-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0，函数递增，
0≥x≥-1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0,函数递减，
说明x=-1/根号下a有极大值，f(x)在x=-1和x=0时取小值，f(0)=1≥0
f(-1)=4-a≥0,得a≤4.

当1≥x≥0是，x=1/根号下a有极值，
0≤x≤1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3<0，函数递减，
1≥x≥1/根号下a时f’(x）=3ax^2-3>0,函数递增，
说明x=1/根号下a有极小值，代入函数得f（1/根号下a)=1/根号下a-3/根号下a+1≥0,
得a≥4;
综合整个定义域，a=4。

Answer 2

已知函数f(x)=ax^3 - 3x+1(x属于R），对于任意x属于【- 1,1】，都有f(x)>=0成立

（一）当x=0时，f(x)=ax^3-3x+1=a*0-3*0+1=1≥0,即a取任何值f(x)=1恒大于0

（二）当-1≤x＜0时
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1，a≤3/x^2-1/x^3
在[-1，0)区间，“3/x^2”是递增的，“-1/x^3”也是递增的，所以“3/x^2-1/x^3”也是递增的
所以当x=-1时，3/x^2-1/x^3=3/(-1)^2-1/(-1)^3=3-(-1)=4为最小值
所以a≤4

（三）当0＜x≤1时
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1，a≥3/x^2-1/x^3
在(0，1]区间，“3/x^2”递减，“-1/x^3”递增，不能用单调性找出最大值
由f(x)=ax^3-3x+1≥0，ax^3≥3x-1
a≥3/x^2-1/x^3=1/x^2*(3-1/x)
根据ai≥0，（a1+a2+…+an）/n≥n次根号(a1a2......an)
3=1/(2x)+1/(2x)+(3-1/x)≥3次根号[1/(4x)^2*(3-1/x) ]
(当且仅当1/(2x)=3-1/x,x=3/8时取等号）
得：1/x^2*(3-1/x)≤4, 即1/x^2*(3-1/x)的最大值是4,
所以a≥4

综上，只有a=4时才能使f(x)≥0总成立

Answer 3

f(-1)=4-a >=0 a<=4
f(1/2)=a/8-1/2 >=0 a>=4
特殊点法