Question

如图,在平面直角坐标系中,有rt△abc,∠a=90º

如图，在平面直角坐标系中有Rt△ABC，∠A=90°，AB=AC，A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）． （1）求d的值； （2）将△ABC沿x轴的正方向平移，在第一象限内B、C两点的对应点B′、C′正好落在某反比例函数图象上．请求出这个反比例函数和此时的直线B′C′的解析式； （3）在（2）的条件下，直线BC交y轴于点G．问是否存在x轴上的点M和反比 例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形？如果存在，请求出点M和点P的坐标；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）作CN⊥x轴于点N， ∵A（-2，0）、B（0，1）、C（d，2）， ∴OA=2，OB=1，CN=2， ∵∠CAB=90°，即∠CAN+∠BAO=90°， 又∵∠CAN+∠ACN=90°， ∴∠BAO=∠ACN， 在Rt△CNA和Rt△AOB中， ∵ ∠ACN=∠BAO ∠ANC=∠BOA=90° CA=AB ， ∴Rt△CNA≌Rt△AOB（AAS）， ∴NC=OA=2，AN=BO=1， ∴NO=NA+AO=3，又点C在第二象限， ∴d=-3； （2）设反比例函数为y= k x （k≠0），点C′和B′在该比例函数图象上， 设C′（m，2），则B′（m+3，1）， 把点C′和B′的坐标分别代入y= k x ，得k=2m；k=m+3， ∴2m=m+3， 解得：m=3， 则k=6，反比例函数解析式为y= 6 x ，点C′（3，2），B′（6，1）， 设直线C′B′的解析式为y=ax+b（a≠0）， 把C′、B′两点坐标代入得： 3a+b=2 6a+b=1 ， ∴解得： a=- 1 3 b=3 ； ∴直线C′B′的解析式为y=- 1 3 x+3； （3）存在x轴上的点M和反比例函数图象上的点P，使得四边形PGMC′是平行四边形，理由为： 设Q是GC′的中点，令y=- 1 3 x+3中x=0，得到y=3， ∴G（0，3），又C′（3，2）， ∴Q（ 3 2 ， 5 2 ）， 过点Q作直线l与x轴交于M′点，与y= 6 x 的图象交于P′点， 若四边形P′GM′C′是平行四边形，则有P′Q=QM′， 易知点M′的横坐标大于 3 2 ，点P′的横坐标小于 3 2 ， 作P′H⊥x轴于点H，QK⊥y轴于点K，P′H与QK交于点E，作QF⊥x轴于点F， ∵QF ∥ P′E， ∴∠M′QF=∠QP′E， 在△P′EQ和△QFM′中， ∵ ∠P′EQ=∠QFM′ ∠QP′E=∠M′QF P′Q=QM′ ， ∴△P′EQ≌△QFM′（AAS）， ∴EQ=FM′，P′Q=QM′， 设EQ=FM′=t， ∴点P′的横坐标x= 3 2 -t，点P′的纵坐标y=2•y Q =5，点M′的坐标是（ 3 2 +t，0）， ∴P′在反比例函数图象上，即5（ 3 2 -t）=6， 解得：t= 3 10 ， ∴P′（ 6 5 ，5），M′（ 9 5 ，0）， 则点P′为所求的点P，点M′为所求的点M．