Question

复数开方怎么开

Answer 1

任意复数表示成z=a+bi
若a=ρcosθ，b=ρsinθ，即可将复数在一个平面上表示成一个向量，ρ为向量长度（复数中称为模），θ为向量角度（复数中称为辐角）
即z=ρcosθ+ρsinθ，由欧拉公式得z=ρe^(iθ)

注意到向量角度t，cos(2kπ+θ)=cosθ，sin(2kπ+θ)=sinθ
所以z=ρe^(iθ)=ρe^[i(2kπ+θ)
开n次方，z^(1/n)=ρ^(1/n)*e^[i(2kπ+θ)/n]
k=0,1,2,3……n-1,n,n+1……
k=n时，易知和k=0时取值相同
k=n+1时，易知和k=1时取值相同
故总共n个根，复数开n次方有n个根
故复数开方公式
先把复数转化成下面形式
z=ρcosθ+ρsinθ=ρe^[i(2kπ+θ)
z^(1/n)=ρ^(1/n)*e^[i(2kπ+θ)/n]
k取0到n-1

注：必须要掌握的内容是，转化成三角形式以及欧拉公式。

开二次方也可以用一般解方程的方法
a+bi=(x+yi)^2，解一个二元二次方程组
但是高次就不行了，由于解三次、四次方程很复杂，五次方程以上（包含五次）没有公式，所以只能用上面的方法开方。