Question

在三角形ABC中,∠B等于60°,AD、AE分别是∠BAC、∠BCA的角平分线,AD、CE相交于点F

写出FE与FD之间的关系

Answer 1

解：

FE=FD．
理由如下：方法一：如图1，在AC上截取AG=AE，连接FG，
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1=∠2，
在△AEF和△AGF中， AG=AE ∠1=∠2 AF=AF   ，
∴△AEF≌△AGF（SAS），
∴∠AFE=∠AFG，FE=FG，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1 2 ∠BAC，∠3=1 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1 2 （∠BAC+∠ACB）=1 2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠CFD=∠AFG=60°．
∴∠CFG=180°-∠AFG-∠CFD=180°-60°-60°=60°，
∴∠CFG=∠CFD，
∵CE是∠BCA的平分线，
∴∠3=∠4，
在△CFG和△CFD中， ∠CFG=∠CFD FC=FC ∠3=∠4   ，
∴△CFG≌△CFD（ASA），
∴FG=FD，
∴FE=FD；
方法二

 

 

：如图2，过点F分别作FG⊥AB于点G，FH⊥BC于点H，
∵F是△ABC的内心，
∴FG=FH，
∵∠B=60°，
∴∠BAC+∠ACB=180°-60°=120°，
∵AD、CE分别是∠BAC、∠BCA的平分线，
∴∠2=1 2 ∠BAC，∠3=1 2 ∠ACB，
∴∠2+∠3=1 2 （∠BAC+∠ACB）=1 2 ×120°=60°，
∴∠AFE=∠2+∠3=60°，
∴∠GEF=60°+∠1，
又∵∠HDF=∠B+∠1=60°+∠1，
∴∠GEF=∠HDF，
在△EGF和△DHF中， ∠EGF=∠DHF=90° ∠GEF=∠HDF FG=FH   ，
∴△EGF≌△DHF（AAS），
∴FE=FD．

Answer 2

解析：

EF=DF,

证明：

过F作FM⊥AB于M,
过F作FN⊥AC于N,
过C作CM'⊥AB于M',
过A作AN'⊥BC于N',

不妨设∠BAC>∠BCA,

由∠B=60°及AD、CE是角平分线，易得

∠DFN
=∠DAN'
=(1/2)∠BAC-(90°-∠B)
=(1/2)∠BAC-30°，

∠EFM
=∠ECM'
=(90°-∠B)-(1/2)∠BCA
=30°-(1/2)∠BCA,

BF也是∠B的平分线，↔FM=FN,

∵∠DFN-∠EFM
=(1/2)∠BAC-30°-[30°-(1/2)∠BCA]
=(1/2)(∠BAC+∠BCA)-60°
=(1/2)*(180°-60°)-60°
=0,

∴∠EFM=∠DFN,

∴FE
=FM/cos∠EFM
=FN/cos∠DFN
=FD

即EF=DF

证毕！

Answer 3

辅助线从F点到AC上做，交AC于G,并使∠AFG=∠AFE
又因为AD平分∠BAC，AF是公共边
所以三角形AFE全等于三角形AFG
所以FG=FE
又因为∠B等于60°,AD、AE分别是∠BAC、∠BCA的角平分线
所以∠ECA+∠DAC=1/2(180°-60°）=60°，∠AFC=120°
又∠DFC=∠DAC+∠ECA=60°
所以∠AFG=∠EFA=∠DFC=60°
所以∠CFG=60°=∠DFC
又因为CE平分∠BCA，CF是公共边
所以三角形CDF全等于三角形CGF
所以FD=FG=FE
即FD=FE

Answer 4

相等啊！