Question

一堆鸡蛋，3个3个数剩2个，5个5个数剩1个，7个7个数剩3个，请问这堆鸡蛋最少几个？请给出通解

Answer 1

个数为x，按3个分组剩2，按5个分组剩1，按7个分组剩3。
方法一：
利用不定方程，结合同余求解：
设x=3a+2=5b+1=7c+3
(将等式对3取余，x==-1==-b+1==c mod 3)
从而b=2+3*b1,c=-1+3*c1

(从而x==5(2+3b1)+1==7(-1+3c1)+3)
x==11+15b1==-4+21c1

(对5取余，得x==1==-4+c1 mod 5,)
c1=5k
于是x==-4+21*5k==-4+105k==101 mod 105
注意：其中加括号的整行内容可以心算完成。
其实利用以上思路，与中国剩余定理并无矛盾。中国剩余定理的原理相当于拉格朗日插值法；也可以利用类似牛顿插值的方法求解同余式。以上方法类似于后者。而他们，全部可以统一和简化。

方法二：
中国剩余定理：
写成同余记号：
x==2,1,3 mod 3,5,7
取x=2*(5*7a)+1*(3*7b)+3*(3*5c)mod 3,5,7 (@@@)
其中5*7a==1 mod 3；也可以由以上设定(@@@)，两边对3取余，推知5*7a==1 mod 3.中国剩余定理就是已知这种解法，预先设定好了。

于是可取5*7a==70.这便是"三人行路七十稀"之口诀的由来，意义就是说取5,7的倍数使之除以3余一，这个倍数正好取70.
看明白了我写的内容，中国剩余定理就明白了。
结果：
x=2*70+21+3*15 mod 3*5*7
==101