Question

数学关于函数单调性的问题

步骤了如指掌 作差f（x1）-f（x2）通过因式分解、配方、有理化等方法判断符号的方向。对于f（x1）-f（x2）的结果 我们怎么样想到是用什么办法把它变形成为可以判断符号方向的式子？
比如
求证函数f（x）=x/x²+1在区间[1，+∞）上是单调减函数。
请求给位指点迷津，我想知道变形的技巧。 谢谢了

Answer 1

想必你知道x²肯定是大于等于零吧，再加上一肯定是大于等于一了。这时只需要判断分子也就是x的正负了。。也就是说我们要把它变成能够确切知道其正负的式子，至于怎么变形，要靠悟性了！

Answer 2

一楼解法不错。就是最后一点需要补充一些。
跟着一楼的步骤y==(x1-x2)(1-x1*x2)/[(x1²+1)(x2²+1)]
递减区间只要1-x1*x2<0
1) x1>x2>1, 1-x1x2<0, 则[1, +oo)递减

2）-1>x1>x2, 同样有：x1x2>1, :. （-oo,-1]也是单调递减区间。
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熟悉对勾函数的人，知道通过y=1/(x+1/x)大致判断出来有两个单调递减区间，只是定义域和对勾函数不同，x=0有意义。

Answer 3

设x2＞x1≥1

f（x2）-f（x1）＝x2/（x2²+1）-x1/（x1²+1）

＝[（x1-x2）（x1x2-1）]/[（x1²+1）（x2²+1）]＜0.

∴函数f（x）=x/x²+1在区间[1，+∞）上是单调减函数.

Answer 4

f(x)=x/x²+1
不妨取x1>x2>=1， 则
f(x1)-f(x2)
=x1/(x1²+1)-x2/(x2²+1)
=[x1*(x2²+1)-x2*(x1²+1)]/[(x1²+1)(x2²+1)] （通分）
=(x1*x2²+x1-x2*x1²-x2)/[(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1*x2²-x2*x1²+x1-x2)/[(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1*x2*(x2-x1)+x1-x2)/[(x1²+1)(x2²+1)]
=(x1-x2)(1-x1*x2)/[(x1²+1)(x2²+1)]

此时就可以判断符号方向了，
显然分母(x1²+1)(x2²+1)>=1>0,
分子中x1-x2>0
x1>x2>=1, 所以x1*x2>1,即1-x1*x2<0
于是f(x1)-f(x2)<0
注意到x1>x2， 所以f(x)在[1，+∞）上是单调减函数