Question

高一数学关于函数单调性的题目

设f(x)= 根号（x²+1） - ax，当a∈【1，+∞】，证明函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数

详细过程
不回答就一边去

Answer 1

在要证的单调区间里取x1与x2，且x1小于x2，则f（x1）-f（x2）=根号（x1平方+1）-根号（x2平方+1）-ax1+ax2=(x1平方-x2平方)/[根号（x1平方+1）+根号（x2平方+1)]-a(x1-x2)=(x1-x2)[(x1+x2)/（根号(x1平方+1)+根号（x2平方+1)）-a]，由于x1+x2小于根号(x1平方+1)+根号（x2平方+1)，所以(x1-x2)[(x1+x2)/（根号(x1平方+1)+根号（x2平方+1)）小于1，而a是不小于1的，所以其差小于0，又x1-x2小于0，所以f（x1）大于f（x2），因此原题得证。
注意解题过程中用到了作差法，有理化分子，分解因式等。

Answer 2

f(x)=√(x²+1)-ax
f'(x)=x/√(x²+1)-a

因为要讨论的是在[0,+∞]上的单调性
所以x＞0
所以0＜x/√(x²+1)＜1
而a∈【1，+∞】
那么显然f'(x)＜0

所以函数f(x)在[0,+∞]上是单调减函数

如果不懂，请Hi我，祝学习愉快！

Answer 3

楼上的，人家才高一..
设x1>x2,
f(x1)-f(x2)=sqrt(x1^2+1)-sqrt(x2^2+1)-a(x1-x2)
假设x1-x2=t>0
f(x1)-f(x2)=sqrt(x1^2+1)-sqrt((x1-t)^2+1)-at<sqrt(x1^2+1)-sqrt((x1-t)^2+1)-t (1)
(sqrt(x1^2+1)-t)^2=t^2+x1^2+1-2t*sqrt(x1^2+1)
(x1-t)^2+1=t^2+x1^2+1-2t*x1, 2t*sqrt(x1^2+1)>2t*x1
所以(sqrt(x1^2+1)-t)^2<(x1-t)^2+1 (2)
(2)等号两边括号里显然都是正的，所以开方有sqrt(x1^2+1)-t<sqrt((x1-t)^2+1) (3)
(3)带入(1) 得f(x1)-f(x2)<0
得证

Answer 4

高一不会求导的话，用定义法：对任意的x2和x1，其中0<x1<x2,计算f(x2)-f(x1)，代入f（x1）和f（x2）计算，说明结果小于0就行了，中间用到两步关键的：

根号（x1²+1）-根号（x2²+1）=（x1+x2）（x1-x2）/(根号（x1²+1）+根号（x2²+1））其实就是平方差公式

提出公因式（x1+x2），然后利用x1<根号x1²<根号(x1²+1),x2<根号x2²<根号(x2²+1)
得出(x1+x2)/(根号(x1²+1)+根号(x2²+1))<1<a

打字累死了，给分吧！
7月j3

Answer 5

这道题目很简单吗，求导不就可以了。