Question

设{an}是等比数列 求证 数列{an}单调递增的充要条件a1<a2<a3

设{an}是等比数列 求证 数列{an}单调递增的充要条件a1＜a2＜a3

Answer 1

【证明】：

【充分性】：

若{an}是等比数列，设公比为q,且单调递增，则

a(n+1)>an

即a1*(1-q^n)/(1-q)>a1*(1-q^(n-1))/(1-q)

a1*[q^n-q^(n-1)](1-q)<0

首先讨论的是恒成立，所以公比不能为负，否则正负相间的数不可能恒成立的，

若a1>0,则q∈(1，+∞)

∴自然有a1<a2<a3

若a1<0,则q∈(0,1)

∴也有a1<a2<a3<0

【必要性】:

若{an}是等比数列，设公比为q,且a1<a2<a3，则
公比必为正，否则不可能有连续三项均满足递增关系，

若q∈(0,1)，

当an>0时，则q=a2/a1>1矛盾，
当an<0时,则q=a2/a1<1，成立，此时此数列为负值递增数列，

若q∈(1,+∞)，

当an<0时，q=a2/a1<1矛盾，
当an>0时，q=a2/a1>1,成立，此时数列为正项递增数列。

得证！