Question

已知数列｛an｝满足a1=1,an=3的n-1次方+an-1（n≥2）！！

证明an=(3^n-1)/2

详解

Answer 1

an=3^(n-1)+a(n-1) 两边同除以3^(n-1)
3an/3^n=1+a(n-1)/3^(n-1)
3(an/3^n-1/2)=[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]
(an/3^n)/[a(n-1)/3^(n-1)-1/2]=1/3
所以{an/3^n-1/2}是以a1/3-1/2=-1/6为首相q=1/3为公比的等比数列
an/3^n-1/2=(-1/6)(1/3)^(n-1)
an/3^n=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/6)(1/3)^(n-1)
=1/2-(1/2)(1/3)^n
=[1-(1/3)^n]/2
=[1-3^(-n)]/2
即an=(3^n-1)/2

Answer 2

an-an-1=3^(n-1)
设bn=an-an-1 则 b1=a1-a0=3^0=1 因为a1=1 所a0=0
bn为等比数列 设bn的n项和为Sn
Sn=(3^n-1)/2
Sn=an-an-1+an-1-an-2+an-2-an-3.......a2-a1+a1-a0=an-a0=an
所以 an=(3^n-1)/2