Question

已知数列{an}是首项a1>0，公比q>-1的等比数列，若数列{bn}通项bn=a (n+1)-ka(n+2) ,n为正整数，数列{an}{b

已知数列{an}是首项a1>0，公比q>-1的等比数列，若数列{bn}通项bn=a (n+1)-ka(n+2) ,n为正整数，数列{an}{bn}的前项和分别为Sn，Tn。如果Tn>kSn对一切正整数n都成立，求实数k的取值范围

Answer 1

an=a1q^(n-1)
则Sn=a1(1-q^n)/(1-q),由于q>-1且q≠0可知Sn>0
bn=a[n+1]-ka[n+2]=a1q^n(1-kq)则{bn}也是等比数列,公比为q
且b1=a2-ka3=a1q(1-kq)
则Tn=a1q(1-kq)(1-q^n)/(1-q)

又Tn>kSn对于一切n∈N及满足条件的所有q都成立,
即a1q(1-kq)(1-q^n)/(1-q)>ka1(1-q^n)/(1-q),
得k<q(1-kq)整理得k<q/(1+q^2)
当-1<q<0时,k<=-1/2
当0<q时,k<=0
所以当k<= -1/2时,Tn>kSn对一切n∈N及满足条件的所有q都成立