Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn，√Sn是1/4与（an+1)^2的等比中项

（1）求证：数列{√Sn}是等差数列
（2）若bn=an/(2^n),数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn
（3）在（2）的条件下，是否存在常数λ，使得数列{（Tn+λ）/a(n+2)}为等比数列？求λ。

Answer 1

1）sn=1/4*（an+1)^2
==>a1=s1=1, 2√sn=an+1=sn-s(n-1)+1
==>sn>=1 且 (√sn-1)^2=√s(n-1)^2
==> √sn-1=√s(n-1)
所以 √sn=n 为等差数列
2） sn=n^2 ==>an=n^2-(n-1)^2=2n-1
bn=(2n-1)/2^n 用错位相减法可以求得 Tn=3-(2n+3)/2^n

3)存在常数λ=-3，此时 （Tn-3）/a(n+2)=-1/2^n当然为等比数列

Answer 2

(1)√Sn是1/4与（an+1)^2的等比中项
因为√Sn = 1/2 *（an+1)
且 an=Sn-S(n-1)
所以√Sn =1/2 *【Sn-S(n-1)+1】
变换一下 Sn-2√Sn +1 = S(n-1)
开根号 √Sn-1 = √ S(n-1)
所以 √Sn - √ S(n-1) = 1
等差得证
（2）
√Sn = 1/2 *（an+1)
n=1时√a1=1/2*(a1+1)
得 a1=1
所以 S1 = 1
√Sn 首项 1 ，公差 1
√Sn = n
Sn = n^2
(n>=2) an = Sn - S(n-1) = 2n-1
n=1 时 也满足 所以 an= 2n - 1
bn=(2n - 1)/(2^n)
明天继续

Answer 3

Sn=1/4(an+1）^2
Sn=1/4an^2+1/2an+1/4
s(n-1)=1/4a(n-1)^2+1/2a(n-1)+1/4
Sn-s(n-1)=an=1/4[an^2-a(n-1)^2]+1/2[an-a(n-1)]
化简得（an+a(n-1))(1/4(an-a(n-1))-1/2)=0
an-a(n-1)=1/2
d=1/2
√Sn=√1/4(an+1)^2
√sn=1/2(an+1)
√s(n-1)=1/2(a(n-1)+1)
√sn-√s(n-1)=1/2(an-a(n-1))=1/4
所以D=1/4是等差数列
能看懂，告诉我，我在打，有的符号不会打，请见谅