Question

已知正项数列{an}的前n项和为Sn,且an和Sn满足：4Sn=(an+1)^2

设bn=an^2+2an+3 试求M=am^2+bn^2+m^2+n^2-2am*bn-2mn最小值

Answer 1

n=1时，4S1=（a1+1)^2 a1=1
n≥2时，4Sn=(an+1)^2
4S(n+1)=[a(n+1)+1]^2 可以化简为 4Sn=[a(n+1)-1]^2
两式相减
0=[a(n+1)-an-2][a(n+1)+an]
{an}为正项数列 所以 a(n+1)-an=2
数列为以a1=1为首项，d=2的等差数列
所以 an=2n-1
bn=an^2+2an+3=(2n-1)^2+2(2n-1)+3=4n^2+2
M=am^2+bn^2+m^2+n^2-2am*bn-2mn
=(am-bn)am+(bn-am)bn+(m-n)^2
=(bn-am)^2+(m-n)^2
=(4n^2-2m+3)^2+(m-n)^2

4n^2-2m+3=0 和m=n 两个方程最小的距离的平方
忘记怎么求2跳直线直接的距离了 反正思路是这样的

追问

这是道竞赛题，哦我想到了，应该是直线上点与抛物线上点的最短距离

追答

是的， 高中知识忘了一点，方法应该是这样的···