Question

已知正项数列{An}中的前n项和为Sn,且满足2Sn=An²+An.

（1）求数列{An}的通项公式;
（2）设{bn}=An/2ⁿ,求数列{bn}的前n项和为Tn,求Tn的取值范围。

Answer 1

解：(1)∵An=Sn-Sn-1（n≥2），∴2An=A²n+An-（A²n-1+An-1)，整理有(An-An-1)(An+An-1)(An+An-1)=0。又∵{An}为正项数列，An+An-1≠0，∴An-An-1=1，{An}是公差为1，首项为A1的等差数列。用递推求和，得An=n-1+A1。
(2)bn=An/2ⁿ=n/2ⁿ+（A1-1）/2ⁿ=Cn+Dn。对Cn，利用(1/2)Cn=Cn-(1/2)Cn,求得Cn=2（1-1/2ⁿ）-n/2ⁿ；对Dn，直接得出其值为（A1-1）（1-1/2ⁿ）。∴Tn=（A1+1）（1-1/2ⁿ）-n/2ⁿ。∵{An}为正项数列，∴亦为bn=An/2ⁿ正项数列。而T1=(A1)/2，当n→∞时，Tn→A1+1。∴Tn的取值范围为[(A1)/2，A1+1)。供参考啊。