Question

高二数学不等式这两道题怎么解求高手解答啊！

1，已知a,b,c属于正数，求证：a2/b+b2/c+c2/a≥a+b+c.
2, a,b,c为正数，求证：㏑(a+b)/2+㏑(b+c)/2+㏑(c+a)/2≥㏑a+㏑b+㏑c.
第二题中㏑是lg

Answer 1

(1)
a²/b +b≥2a
b²/c +c≥2b
c²/a +a≥2c
上面3式相加得
a²/b+b+b²/c+c+c²/a+a≥2a+2b+2c
(a²/b+b²/c+c²/a)+(a+b+c)≥2(a+b+c)
所以 a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c

(2)
证明：b≥2√ab
a+c≥2√a
c+b≥2√bc
三式相乘得:
(a+b)(b+c)(a+c)>=8ab√ac√bc=8abc
[(a+b)/2][(a+c)/2][(a+c)/2]>=abc
同时取对数得:
lg(a+b)/2+lg(b+c)/2+lg(a+c)/2>lga+lgb+lgc

Answer 2

1.证明：a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c
证法一：
∵（a²/b+b²/c+c²/a）·（b+c+a)
≥(√(a²/b·b) + √(b²/c·c + √(c²/a·a))²
=（a+b+c)²
∴a²/b+b²/c+c²/a ≥ a+b+c
证法二：
（a²/b+b²/c+c²/a）+（a+b+c)
= (a²/b+b) +(b²/c+c)+ (c²/a+a)
≥2√[(a²/b)·b]+2√[(b²/c)·c]+2√[(c²/a)·a]
=2a+2b+2c
=2(a+b+c)
于是a²/b+b²/c+c²/a ≥ a+b+c，原不等式得证。

2.由于换底公式的存在，所以ln和lg没分别。
㏑(a+b)/2+㏑(b+c)/2+㏑(c+a)/2 = ln[(a+b)(b+c)(c+a)/8]
㏑a+㏑b+㏑c = ln(abc)
所以需要证明的不等式为(a+b)(b+c)(c+a)≥ 8abc
∵a+b≥2√ab,b+c≥2√bc，c+a≥2√ca
所以(a+b)(b+c)(c+a)≥2√ab·2√bc·2√ca = 8abc
因此命题得证。