Question

数学必修二问题

11.如图，PD垂直正方形ABCD所在的平面，PD=DC,E为PC的中点，EF垂直PB于点F，求证：PB垂直平面EFD

Answer 1

因为PD垂直于ABCD，所以BC垂直于PD
同时ABCD为正方形，所以BC垂直于DC
因此BC垂直于PDC，BC垂直于DE
因为E为PC中点，PD=DC
所以DE垂直于PC
所以DE垂直于PBC
所以DE垂直于PB
根据上述的DE垂直于PB，且FE垂直于PB
因此PB垂直于DEF

Answer 2

PD垂直ABCD(已知)
所以PD垂直BC,而BC垂直DC,所以BC垂直平面PDC
所以BC垂直PC
所以PC为PB在平面PDC上的射影
而DE垂直PC(等腰RT三角形斜边上的中线垂直斜边)
所以DE垂直PB(三垂线定理)
又EF垂直PB(已知)
所以PB垂直平面EFD(一条直线垂直平面上的两条相交直线,则垂直这平面)

Answer 3

解：连接DF,DE,DB
∵PB交平面EFD于点F
又∵EF垂直PB于点F（则只需证明PB⊥DF即可）
∵PD垂直正方形ABCD所在的平面，DB∈正方形ABCD
∴三角形PDB⊥正方形ABCD，即PD⊥DB
∵E为PC的中点，EF垂直PB于点F
∴PF=PB，又∵∠DPF=∠DPB
∴△PFD∽△PDF即角DFP=角PDB=90°即PB⊥DF
∴PB垂直平面EFD