Question

高一两道数学题，函数，求详细解法……

1.函数f：｛1,2,3｝→｛1,2,3｝满足f[f(x)]=f(x), 则这样 的函数个数有 几个？
答案是10个……为什么……？
2.函数f(x)对任意的a、b属于R， 都有f（a+b）=f(a)+f(b) -1,并且当x＞0时，f（x）＞1，求证：f(x)是R上的增函数。
求详细解法，，分不多了……将就一下 吧……

Answer 1

1.
f[f(x)]=f(x)
则就是：f(x)=x
现在的问题就是映射的问题。
f：A→B，A中的每一个元素在B中都有唯一的元素与之对应，显然B中的某些元素可能没有原像。所有原像的集合就是A，是函数f的定义域，所有像的集合就是值域，显然值域是B的一个非空子集。
题目中，没有说第二个{1，2，3}是值域，那么其中的某些元素没有原像。而第一个{1，2，3}是原像集合，每一个元素都有像与之对应，因此分类讨论的基准就是第二个{1，2，3}哪些元素有原像。
【1】{1，2，3}只有一个元素有原像，比如说1有原像，2.3没有原像。那么就是{1，2，3}→{1}，那么满足f(x)=x的有f(1)=1；当然也可以只有2或者3只有原像，因此这是三对一（三个原像对应一个像）情况，这样的函数有3个。
【2】{1，2，3}1和2有原像，{1，2，3}→{1，2}这样就是三对二的映射，满足函数的有f(1)=1,f(2)=2；当然也可以是1，3或2，3有原像，因此此时有6个这样的函数。
【3】{1，2，3}全部有原像，即他就是值域，{1，2，3}→{1，2，3}，只能是这样的映射{1}→{1}，{2}→{2}，{3}→{3}只有一个这样的函数。【注意：这里f(1)=1,f(2)=2,f(3)=3,三个函数表达式，是一个函数，不是三个函数】

计算函数个数的时候由映射关系来确定。

2.
任取x1>x2
由f(a+b)= f(a)+ f(b)-1 令a=x2,b=x1-x2
有f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1
b=x1-x2>0 f(x1-x2)>1
f(x1)= f(x2)+ f(x1-x2)-1>f(x2)

则可知对任意X1>X2时都有f(X1)>f(X2)
∴f(x)是R上的增函数

Answer 2

1.设f(a)=b,则f[f(a)]=f(b)=f(a)=b,则必有数是自对自。
（1）只有一个数自对自，如1对1，则其他两个数必定对这个数，即2，3都对1.那么有3种情况，即1，2，3
（2）有两个数都是自对自，如1对1，2对2，则3即可对1 ，也可对2.那么有3x2=6种情况
（3）三个数都自对自，只有一种情况
所以 共3+6+1=10中情况
2.任取X1,X2,使得X1大于X2。由已知得，f(X1)=f(X2)+f(X1-X2)-1,则f(X1)-f(X2)=f(X1-X2)-1,X1-X2大于0,所以f(X1-X2)大于1.所以f(X1)大于f(X2)，递增