Question

若a，b＞0，2ab+a+2b＝3，求a+2b的最小值

Answer 1

利用不等式：a+2b≥2√(2ab)
2ab+a+2b＝3≥2ab+2√(2ab)
设√(2ab)=x
可以化为不等式
x²+2x-3≤0
-3≤x≤1,而x为正数，所以0<x≤1
0<√(2ab)≤1
0<2ab≤1
2ab+a+2b＝3
a+2b=3-2ab≥3-1=2
a+2b最小值2

Answer 2

a+2b=m, a*2b=3-m
a、2b 为 x^2-mx+3-m=0 的两根
判别式=m^2+4m-12>=0
m<=-6 or m>=2
a+2b的最小值=2
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a>0，b＞0，
2ab<=[(a+2b)^2]/4
3=2ab+a+2b<=[(a+2b)^2]/4+(a+2b)
(a+2b)^2+4(a+2b)-12>=0
(a+2b)>=2, 当且仅当 a=2b=1 时， a+2b的最小值=2