Question

如图,平行四边形ABCD中,AD=8,CD=4,∠D=60°,点P与点Q是平行四边形

如图,平行四边形ABCD中,AD=8,CD=4,∠D=60°,点P与点Q是平行四边形边上的动点，点P以每秒1个单位长度的速度，从点C运动到点D，点Q以每秒2个单位长度的速度从点A→点B→点C运动，当其中一点到达终点时，另一点随之停止运动，点P与点Q同时出发，设运动时间为t，△CPQ的面积为5。
1.求S关于t的函数关系式

2.求出S的最大值

3.t为何值时，将△CPQ以它的一边为轴翻折，翻折前后的2个三角形所组成的四边形为菱形
打错了 更正：△CPQ的面积为S

Answer 1

解：（1）①当0＜t≤2时，如图1，过点B作BD⊥BC，交DC的延长线于点E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=4，
∴CP=t，S=
②当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=t，由勾股定理得：PF=t，
S=CQ×PF=×（12-2t）×t，
即S=-t2+3t．

（2）过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，
∵∠PCF=∠D=60°，∴PF=
∴S△CPQ=-t2+3t=-（t-3）2+，
t=3时，S有最大值．
综上，S的最大值为；

（3）当0＜t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形．
当2＜t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴当t=4时，△CPQ为等腰三角形，
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

点评：本题考查图形的翻折变换，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等

Answer 2

解：（1）①当0＜t≤2时，如图1，过点B作BE⊥BC，交DC的延长线于点E，
∴∠BCE=∠D=60°
∴CE=4，由勾股定理得：BE=43，
∴CP=t，S=12CP•BE=12×43t=23t
②当2＜t≤4时，如图2，CP=t，BQ=2t-4，
CQ=8-（2t-4）=12-2t；∠DCF=∠B=60°，
∵∠F=90°，
∴∠CDF=30°，
∴CF=12t，由勾股定理得：PF=32t，
S=12CQ×PF=12×（12-2t）×32t，
即S=-32t2+33t．

（2）过点P作PF⊥BC，交BC的延长线于F点，
∵∠PCF=∠D=60°，∴PF=32L
∴S△CPQ=-32t2+33t=-32（t-3）2+932，
t=3时，S有最大值923．
综上，S的最大值为923；

（3）当0＜t≤2时，△CPQ不是等腰三角形，所以不存在符合条件的菱形．
当2＜t≤4时，令CQ=CP，即t=12-2t，解得t=4．
∴当t=4时，△CPQ为等腰三角形，
即为△CPQ的一边所在直线为轴翻折，翻折前后的两个三角形组成的四边形为菱形．

Answer 3

拜托，给个图可以吗，没有图很难解的

Answer 4

没图没法表述