Question

三角函数解答题

非等边三角形ABC的外接圆半径为2，最长的边BC=2倍根号三，求sinB+sinC的取值范围。希望各位高手能给一个详细一点的解答过程。好的话肯定追加分，谢谢啦。

Answer 1

a=2√3
R=2
正弦定理a/sinA=2R
sinA=√3/2
A=60或120
a最大则A最大，且非等边三角形
所以A=120
B+C=60
C=60-B

sinB+sinC
=sinB+sin(60-B)
=sinB+sin60cosB-cos60sinB
=sinB+sin60cosB-1/2*sinB
=sin60cosB+1/2*sinB
=sin60cosB+cos60sinB
=sin(60+B)

A=120则0<B<60
所以60<B+60<120
所以sin60<sin(B+60)<=sin90
√3/2<sin(B+60)<=1

所以√3/2<sinB+sinC<=1

Answer 2

解：由正弦定理 得BC/sinA=2r,得sinA-根3/2

∵BC是最长边，且三角形为非等边三角形

∴ A=2pai/3

sinB+sinC=sinB+sin(pai/3-B)=sin(B+pai/3)

, 又 0<B<pai/3,∴pai/3<B+pai/3<2pai/3

∴根3/2<sin(B+pai/3)<=1

故 sinB+sinC的取值范围为(根3/2,1]