Question

三角形ABC中，BP,CP分别是角B，角C的外角平分线，求证：角BPC=90°—1/2角BAC。

Answer 1

要证角BPC=90°—1/2角BAC，即证2角BPC=180°—角BAC。
过P点分别作ab，ac延长线和bc的垂线，垂足分别为D,E,F。
由于BP,CP分别是角B，角C的外角平分线，可知BP,CP分别为角DPF和角EPF的角平分线，也就知道角DPE=2倍角BPC。
对于四边形ADPE，由于有两个角为直角，可知道角DAE+角DPE=180。
把角DPE=2倍角BPC代人上面，可以得到2倍角BPC+角DPE=180。
再移项可得2角BPC=180°—角BAC，再除以2，得证。

Answer 2

∵∠BAC=180°-(∠ABC+∠ACB)
∴1/2∠BAC=90°-1/2(∠ABC+∠ACB)
∴1/2(∠ABC+∠ACB)=90°-1/2∠BAC
∵∠BPC=180°-(∠PBC+∠PCB)
∠PBC=(180°-∠ABC)÷2=90°-1/2∠ABC
∠PCB=(180°-∠ACB)÷2=90°-1/2∠ACB
∴∠PBC+∠PCB=∠180°-1/2(∠ABC+∠ACB)
∴∠BPC=1/2(∠ABC+∠ACB)
∴∠BPC=90°-1/2∠BAC