Question

一道高中数列题

已知等比数列{An}的前n项和为Sn，且对任意n属于N＋，点（n，Sn）均在函数y=b^x+r（b＞0，且b≠1，b，r均为常数）的图像上

（1）求r的值
（2）当b=2时，记b=（n+1）/(4An） （n属于N＋），求数列{Bn}的前n项和Tn

Answer 1

根据题意
Sn = b^n + r
所以
An = Sn - S<n-1> = b^n - b^(n-1)
A<n-1> = b^(n-1) - b^(n-2)
An/A<n-1> = b
所以An数列的公比为 b
则
Sn = A1 * (b^n -1)/(b-1) = [A1/(b-1)]*b^n - [A1/(b-1)]
同时
Sn = b^n + r
若对任意n, 以上2式子同时成立, 则
A1/(b-1) = 1
r = -1
---------------------------
当 b = 2 时
A1 = 1
An = A1 * b^(n-1) = 2^(n-1)
Sn = A1 * (b^n -1)/(b-1) = 2^n -1
Bn = n + 1/4An
楼主, 你这个式子表达得太不清楚了, 请问这个已知条件中 An 是在分子还是分母上?
我按照 An 处在分母上给你做吧(如果是分子, 那么也很容易, 因为 Sn 已经知道了)
Bn = n + 1/(4An)
= n + 1/2^(n+1)
Tn = B1 + B2 + …… + Bn
= (1 + 2 + …… + n) + [1/2^2 + 1/2^3 + …… + 1/2^(n+1)]
= n(n+1)/2 + (1/4)*[(1/2)^n - 1]/(1/2 - 1)
= n(n+1)/2 - (1/2)*[(1/2)^n -1]