Question

已知向量a,b,c是三个非零向量,求证|a-b|

Answer 1

方法一：
作向量OA＝向量a、向量OB＝向量b、向量OC＝向量c.则：
向量a－向量b＝向量OA－向量OB＝向量BA,
向量a－向量c＝向量OA－向量OC＝向量CA,
向量c－向量b＝向量OC－向量OB＝向量BC.
∴｜向量a－向量b｜＝｜向量BA｜＝｜AB｜,
　｜向量a－向量c｜＝｜向量CA｜＝｜AC｜,
　｜向量c－向量b｜＝｜向量BC｜＝｜BC｜.
显然有：｜AB｜≦｜AC｜＋｜BC｜,
∴｜向量a－向量b｜≦｜向量a－向量c｜＋｜向量c－向量b｜.
方法二：
令向量a对应的复数＝A＋Bi、向量b对应的复数＝C＋Di、向量c对应的复数＝E＋Fi.则：
向量a－向量b＝（A－C）＋（B－D）i,
向量a－向量c＝（A－E）＋（B－F）i,
向量c－向量b＝（E－C）＋（F－D）i.
显然有：
∴｜向量a－向量b｜
＝｜（A－C）＋（B－D）i｜
＝｜［（A－E）＋（B－F）i］＋［（E－C）＋（F－D）i］｜
≦｜（A－E）＋（B－F）i｜＋｜（E－C）＋（F－D）i｜
＝｜向量a－向量c｜＋｜向量c－向量b｜.
∴｜向量a－向量b｜≦｜向量a－向量c｜＋｜向量c－向量b｜.