Question

一道高中数学的关于椭圆的题 急求！！ 回答越详细越好！ 我会加分的！

已知椭圆C:X^2÷（a^2）+Y^2÷(b^2)=1 [a>b>0]的离心率为二分之根号三，过右焦点F且斜率为K（K>0）的直线与C相交于A B两点。若AF=3BF,则K=

Answer 1

解答如下 ：

Answer 2

AB的横坐标分别记为x1,x2
向量AF=3向量FB
F是线段AB的定比分点
(x1+3x2)/4=c
即x1+3x2=4c

由椭圆的第二定义得
|AF|/(-x1+a²/c)=c/a
则焦半径|AF|=-cx1/a+a
同理可得|BF|=-cx2/a+a
|AF|+3|BF|=-c(x1+3x2)/a+4a
=-4c²/a+4a=2|AF|

已知k>0
直线的倾斜角为a则根据图像有
a²/c-c+|AF|cosa=d1 (1)
a²/c-c-|BF|cosa=d2
3(a²/c-c)-3|BF|cosa=3d2 (2)
由(1)(2)得2(a²/c-c)=2|AF|cosa

则-4c²/a+4a=2|AF|=2(a²/c-c)/cosa
得cosa=a/2c=1/√3
tan²a+1=1/cos²a
k=tana=√2

过程想清楚是很简单 这种方法计算量最少