Question

已知函数f(x)=x^2/（x+m）的图像经过（4，8），数列{an}中，若a1=1, Sn为数列{an}的前n项和，an=f(Sn)（n

已知函数f(x)=x^2/（x+m）的图像经过（4，8），数列{an}中，若a1=1, Sn为数列{an}的前n项和，an=f(Sn)（n≥2），证明数列{1/Sn}成等差数列，并求数列{an}的通项

Answer 1

f(4)=16/(4+m)=8
m=-2

an=Sn²/(Sn-2)
Sn-S(n-1)=Sn²/(Sn-2)
Sn²-2Sn-SnS(n-1)+2S(n-1)=Sn²
2S(n-1)-2Sn=SnS(n-1)
两边除2SnS(n-1)
1/Sn-1/S(n-1)=1/2
所以1/Sn等差

1/Sn-1/S(n-1)=1/2
d=1/2
1/S1=1/a1=1
所以1/Sn=1+(1/2)(n-1)=(n+1)/2
Sn=2/(n+1)
所以n>=2
an=Sn²/(Sn-2)=-2/(n²+n)
a1=1,不符合这个
所以
n=1,an=1
n>=2,an=-2/(n²+n)

Answer 2

(4，8）代入 8=4^2/(4+m) , m=-2
a1=1, :. s1=1
an=f(Sn) => an=sn^2/(sn-2) (n>=2)
又an=sn-s(n-1)
:. sn-s(n-1)=sn^2/(sn-2)
=> sn*s(n-1)=-2sn+2s(n-1), 同除以sn*s(n-1)
=> 1/sn-1/s(n-1)=1/2 (n>=2) 故1/sn为等差数列，公差为1/2,首项1
求出等差数列1/sn的通项。
1/sn=1/s1+(n-1)d =>1/sn=1+(n-1)*1/2
=>1/sn=(n+1)/2
则sn=2/(n+1)
则an=sn-s(n-1)=2/(n+1)-2/(n-1+1)=-2/n(n+1)