Question

已知函数f x对任意的ab 属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-2

已知函数f x对任意的ab 属于R,都有f(a+b)=f(a)+f(b)-2，并且当x>0时,f(x)>2
(1)求证：f(x）是R上的增函数
（2）若f(4)=4,f(3m^2-m-2)<3,求m的取值范围

Answer 1

(1)
设x1∈R , x2∈R+
由题意得f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)-2
则f(x1+x2)-f(x1)=f(x2)-2
∵f(x2)>2
∴f(x2)-2>0 即f(x1+x2)-f(x1)>0
∴f(x)是R上的增函数
(2)
∵f(4)=4
∴f(2+2)=f(2)+f(2)-2=4
∴f(2)=3
又∵f(x)是R上的增函数
∴3m^2-m-2<2
解得-1<m<1/3