Question

函数f(x)对于任意ab属于R,都有f(a+b)=f（a）+f（b）-1且当x>0时f(x)>1

1, 求证f(x)是R上的增函数
2，若f(4)=5,解不等式 f(3m²-7)<3

Answer 1

1
∵f(a+b)=f（a）+f（b）-1
设x1<x2，x2-x1>0
∴f(x2)=f（x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1
∴f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1
∵x>0时，f(x)>1
∴f(x2-x1)>1
∴f(x2-x1)-1>0
∴f(x2)-f(x1)>0
∴f(x2)>f(x1)
∴f(x)是R上的增函数
2
∵f(4)=5
f(4)=f(2)+f(2)-1
∴f(2)=3
∴不等式 f(3m²-7)<3
即f(3m²-7)<f(2)
∴3m²-7<2
∴3m²<9
m²<3
∴-√3<m<√3

追问

亲，首先在这非常感谢你嗒..但是俄还有个地方不太明白.请帮忙解答下吧..
为神马f（x2-x1）-1＞0 所以就f（x2）-f（x1）＞0了？

追答

∵f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)-1

Answer 2

1，令a，b=0，有f（0）=0或1，令a=x，b=0，则f（x）=f（0）*f（x）》1，
故f（0）=1，令a=x，b=-x，则1=f（x）*f（-x），由题意，f（x）》0
2.任意的x1,《x2，f（x1）-f（x2）=

Answer 3

1）因为f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)-1
所以f(0)=1
因为f(0)=f(x-x)=f(x)+f(-x)-1
所以f(-x)=2-f(x)
设a>b，则a-b>0
有f(a-b)=f(a)+f(-b)-1=f(a)+2-f(b)-1=f(a)-f(b)+1
因为a-b>0，所以f(a-b)>1
因此，f(a-b)=f(a)-(b)+1>1
即f(a)-f(b)>0对任意的a>b属于R成立
所以f(x)是严格单调增函数

2）f(4)=f(2+2)=f(2)+f（2）-1=5 所以 f(2)=3 因为f(x)是R上的增函数 所以原不等式可化为
f(3m²-7)<3=f(2) => 3m²-7<2 =>m²<3 =>-√3<m<√3