Question

已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),

已知函数y=f(x)满足f(-x)=f(x),它在区间(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=1/f(x)在区间(0,+∞)上增还是减 ，请证明你的结论。

Answer 1

证明：设x1，x2∈（0，＋∞），且x1<x2，
则F(x1)-F(x2)=1/f(x1)-1/f(x2)
=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]，

∵f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，且x1<x2，
∴f(x1)<f(x2)，即f(x2)-f(x1)>0，
又在区间(0，＋∞)上，f(x)<0，且x1，x2∈（0，＋∞），
∴f(x1)<0，f(x2)<0，
∴[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]>0，
即F(x1)-F(x2) >0，
∴F(x1)>F(x2)，
由增减函数的定义可知，F(x)在区间(0，＋∞)上为减函数.
证毕

若问题是：试问F(x)在区间（-∞，0）上增还是减，请证明你的结论.

证明：设x1，x2∈（-∞，0），且x1<x2，
则F(x1)-F(x2)=1/f(x1)-1/f(x2)
=[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]，

∵x1<x2<0，
∴-x1>-x2>0，
又∵f(x)在区间(0，＋∞)上为增函数，且-x1>-x2>0，
∴f(-x1)>f(-x2)，
∵f(-x)=f(x)，
∴f(x1)>f(x2)，即f(x1)-f(x2)>0，f(x2)-f(x1)<0，
又在区间(0，＋∞)上，f(x)<0，且-x1，-x2∈（0，＋∞），
∴f(-x1)<0，f (-x2)<0，
由f(-x)=f(x)，得f(x1)<0，f (x2)<0，
∴[f(x2)-f(x1)]/[f(x1)f(x2)]<0，
即F(x1)-F(x2)<0，
∴F(x1)<F(x2)，
由增减函数的定义可知，F(x)在区间（-∞，0）上为增函数.
证毕

Answer 2

是减涵数。由于y=1/f(x)是复合函数，不妨令t=f(x).则y=1/t在(0,+无穷)是递减的，又因为f(x)在(0,+无穷)是单调递增所以y是递减，也就是减函数！不过这题出错了。f(x)不可能小于零