Question

如图，AB为圆O的直径，点C为圆O上异于A.B的一点，PA⊥平面ABC，点A在PB.PC上的射影分别是E.F

(1)求证：PB⊥平面AFE
(2)若AB=4,PA=3,BC=2,求三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P.A.B.C都在此球面上）的体积之比

Answer 1

1.
PA⊥平面ABC,所以：PA⊥BC
而AB是直径，所以：BC⊥AC
所以：BC⊥平面PAC, 所以：BC⊥AF
而已知AF⊥PC
所以：AF⊥平面PBC, 所以：AF⊥PB
而又已知AE⊥PB
所以：PB⊥平面AFE

2.
AC=(AB^2-BC^2)^(1/2)=2(根号3)
三棱锥C-PAB的体积=(1/3)*RT三角形ABC面积*PA
=(1/3)*(1/2)AC*BC*PA
=(1/3)(1/2)*2(根号3)*2*3=2(根号3)

取PB的中点Q，连接QA，QC
在RT三角形PBC中，PQ=BQ=CQ
在RT三角形PAB中，PQ=BQ=AQ
所以：PQ=AQ=BQ=CQ
所以：Q是我们要找的球心，PA为球半径
PA=PB/2=(1/2)(PA^2+AB^2)^(1/2)
=5/2
外接球体积=(4/3)pi*(PA)^3=(125/6)pi

三棱锥C-PAB的体积与此三棱锥的外接球（即点P.A.B.C都在此球面上）的体积之比
= 2(根号3)/[(125/6)pi]
=12(根号3)/(125pi)