Question

已知数列an中,a1=1,a2=2，且a(n+1)=(1+q)an-qa(n-1)(n>=2,q不等与0 求数列an的通项公式

Answer 1

a(n+1)-an=q[an-a(n-1)],{an-a(n-1)}是以1为首项q为公比的等比数列,an-a(n-1)=q^(n-1),再用叠加法可得,an=[1*(1-q^n)]/(1-q)

Answer 2

因为bn=a(n+1)-an(n∈N*），
b1=a2-a1=1
bn=q^(n-1)
即a(n+1)-an=q^(n-1)，(n∈N*）
an-a(n-1)=q^(n-2)
a(n-1)-a(n-2)=q^(n-3)
a(n-2)-a(n-3)=q^(n-4)
…
a2-a1=1
将上述式子相加得：an-a1=q^(n-2)+q^(n-3)+q^(n-4)+…+1
当q=1时，an=n，当an≠1时，
an-a1=[1-q^(n-1)]/(1-q)
an=a1+[1-q^(n-1)]/(1-q)
an=1+[1-q^(n-1)]/(1-q)