Question

若函数y=1/2x²-x+3/2的定义域和值域都是【a,b】,求a,b的关系

Answer 1

y=f(x)=x²/2-x+3/2，x∈[a，b]，y∈[a，b].
图象对称轴为直线x=1.

（1）当a<b≤1时，f(x)在[a，b]上为减函数，
∴f(a)=b，f(b)=a，
即a²/2-a+3/2=b，且b²/2-b+3/2=a
两式相减，得a+b= -4，即b= -4-a，
代回a²/2-a+3/2=b化简得，a²= -11，
∴此时a，b不存在；

（2）当a<1<b时，f(x)在[a，1]上为减函数，在（1，b]上为增函数，
∴f(1)=a，即1²/2-1+3/2=a，∴a=1与a<1<b矛盾，此时a，b不存在；

（3）当1≤a<b时，f(x)在[a，b]上为增函数，
∴f(a)=a，f(b)=b，
即a²/2-a+3/2=a，且b²/2-b+3/2=b
∴a，b是方程x²/2-x+3/2=x的两根，且a<b，
解得a=1，b=3.

综上，a，b的关系为： a=1，b=3.

Answer 2

这个比较容易：
y在R上的值域为[1,+∞),当x=1时，y取最小值1。
因为函数在[a,b]上的值域为[a,b];所以可以看出a>=1,b>a;
所以在[a,b]上y为增函数。y(a)=a,y(b)=b,解出a=1，b=3

Answer 3

a=11/8
b=∞
b>a