一道高一的数学题,急急急急急急急急急急急急急
已知函数f(x),当x,y∈R,,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)+f(-x)=0(2)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)=-1/2,求f(...
已知函数f(x),当x,y∈R,,恒有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)+f(-x)=0 (2)如果x>0时,f(x)<0,且f(1)= -1/2,求f(x)在区间[-2,6]上的最大值和最小值
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8个回答
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1. 设y=-x f(x)+f(-x)=f(x-x)=0
2.f(-2)=-f(2)=-f(1)-f(1)=1
f(6)=同上f(1)*6=-3
2.f(-2)=-f(2)=-f(1)-f(1)=1
f(6)=同上f(1)*6=-3
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1)令x=y=0,f(0)=f(0)+f(0),得到f(0)=0
令y=-x,得到f(0)=f(x)+f(-x),从而f(x)+f(-x)=0
2)由1)可知,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数
当0<x1<x2时,x2-x1>0,由题设可知,f(x2-x1)<0,
又由题设知,f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0.
即:f(x1)>f(x2).
故在(0,+∞)上,函数f(x)递减。
结合函数的奇偶性可知,在R上,函数f(x)递减,
故在[-2,6]上,f(x)max=f(-2),f(x)min=f(6).
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-1/2,
可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-1+(-1/2)=-3/2,
所以,f(-2)=-f(2)=1,f(6)=2f(3)=-3
故在[-2,6]上,f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(6)=-3.
令y=-x,得到f(0)=f(x)+f(-x),从而f(x)+f(-x)=0
2)由1)可知,f(-x)=-f(x),所以f(x)为奇函数
当0<x1<x2时,x2-x1>0,由题设可知,f(x2-x1)<0,
又由题设知,f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0.
即:f(x1)>f(x2).
故在(0,+∞)上,函数f(x)递减。
结合函数的奇偶性可知,在R上,函数f(x)递减,
故在[-2,6]上,f(x)max=f(-2),f(x)min=f(6).
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-1/2,
可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-1+(-1/2)=-3/2,
所以,f(-2)=-f(2)=1,f(6)=2f(3)=-3
故在[-2,6]上,f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(6)=-3.
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1.取X=0,Y=0,则F(0+0)=F(0)+F(0),可得F(0)=0,F(X)+F(-X)=F(X-X)=F(0)=0
2.F(2)=F(1+1)=F(1)+F(1)=-1,F(3)=F(2+1)=F(2)+F(1)=-1.5,F(6)=F(3+3)=F(3)+F(3)=-3,显然这是减函数
所以,最大为-1,最小为-3
2.F(2)=F(1+1)=F(1)+F(1)=-1,F(3)=F(2+1)=F(2)+F(1)=-1.5,F(6)=F(3+3)=F(3)+F(3)=-3,显然这是减函数
所以,最大为-1,最小为-3
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证明:(1)令x=y=0 则f(x+y)=f(0+0)=f(0)
f(x)+f(y)=f(0)+f(0)=2f(0)
因f(x+y)=f(x)+f(y) 所以f(0)=2f(0) 所以f(0)=0
令y=-x 则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+y)=f(x+-x)=f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0
(2)由(1)可知f(0)=0 f(-1+1)=f(-1)+f(1)=0 所以f(-1)=1/2
x>0时,f(x)<0 设0<x<x+a<6(a>0),则
f(x+a)<0 f(x)<0 f(a)<0
所以 f(x+a)=f(x)+f(a)<f(x)
所以f(x)在【0,6】上逐渐减小
因f(x)+f(-x)=0 所以x关于原点对称(奇函数)
即f(x)在【-2,0)上逐渐减小
所以 f(x)在【-2,6】上的最大值为f(-2) 最小值为f(6)
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=1
f(6)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=6f(1)=-3
f(x)+f(y)=f(0)+f(0)=2f(0)
因f(x+y)=f(x)+f(y) 所以f(0)=2f(0) 所以f(0)=0
令y=-x 则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+y)=f(x+-x)=f(0)=0
即f(x)+f(-x)=0
(2)由(1)可知f(0)=0 f(-1+1)=f(-1)+f(1)=0 所以f(-1)=1/2
x>0时,f(x)<0 设0<x<x+a<6(a>0),则
f(x+a)<0 f(x)<0 f(a)<0
所以 f(x+a)=f(x)+f(a)<f(x)
所以f(x)在【0,6】上逐渐减小
因f(x)+f(-x)=0 所以x关于原点对称(奇函数)
即f(x)在【-2,0)上逐渐减小
所以 f(x)在【-2,6】上的最大值为f(-2) 最小值为f(6)
f(-2)=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=1
f(6)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=6f(1)=-3
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解:设圆的方程为x2
+y2+Dx+Ey+F=0
(a)
代入P,Q两点的坐标得2D-4E-F=20
(1)
,3D-E
F=-10
(2).
在式(a)中,
令y=0得x2
+Dx+F=0
设其2个根分别为x1和x2
,依题意有:|x1-x2|=√(x1
x2)²-4x1x2=√D²-4F
,
于是得D2-4F=36
(3)
联立(1),(2),(3),解得
D=-2,
E=-4,F=-8
或
D=-6,E=-8,F=0
故所求的方程由x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y
=0
或
,
故所求的方程由x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y
=0。
+y2+Dx+Ey+F=0
(a)
代入P,Q两点的坐标得2D-4E-F=20
(1)
,3D-E
F=-10
(2).
在式(a)中,
令y=0得x2
+Dx+F=0
设其2个根分别为x1和x2
,依题意有:|x1-x2|=√(x1
x2)²-4x1x2=√D²-4F
,
于是得D2-4F=36
(3)
联立(1),(2),(3),解得
D=-2,
E=-4,F=-8
或
D=-6,E=-8,F=0
故所求的方程由x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y
=0
或
,
故所求的方程由x2+y2-2x-4y-8=0或x2+y2-6x-8y
=0。
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