Question

一道高一的数学题，急急急急急急急急急急急急急

已知函数f(x)，当x,y∈R，，恒有f(x+y)=f(x)+f(y),(1)求证:f(x)+f(-x)=0 (2)如果x＞0时,f(x)＜0，且f(1)= -1/2，求f(x)在区间[-2，6]上的最大值和最小值

Answer 1

1)f(0+0)=f(0)+f(0)
所以f(0)=0
f(-x+x)=f(x)+f(-x)
所以f(x)+f(-x)=0
2）最大值是f（-2）=-f（2）=-（f（1）+f（1））=1
最小值是f（6）=6f(1)=-3

Answer 2

1. 设y=-x f(x)+f(-x)=f(x-x)=0

2.f(-2)=-f(2)=-f(1)-f(1)=1

f(6)=同上f(1)*6=-3

Answer 3

1)令x=y=0，f（0）=f（0）+f（0），得到f（0）=0
令y=-x，得到f（0）=f(x)+f(-x)，从而f(x)+f(-x)=0
2）由1）可知，f(-x)=-f(x)，所以f(x)为奇函数
当0<x1＜x2时，x2-x1＞0,由题设可知，f(x2-x1)＜0,
又由题设知，f(x2)=f[(x2-x1)+x1]=f(x2-x1)+f(x1).
f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)＜0.
即:f(x1)＞f(x2).
故在(0,+∞)上，函数f(x)递减。
结合函数的奇偶性可知，在R上，函数f(x)递减，
故在[-2,6]上，f(x)max=f(-2),f(x)min=f(6).
由f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-1/2,
可求得f(2)=f(1+1)=2f(1)=-1,f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=-1+(-1/2)=-3/2,
所以,f(-2)=-f(2)=1,f(6)=2f(3)=-3
故在[-2,6]上，f(x)max=f(-2)=1,f(x)min=f(6)=-3.

Answer 4

1.取X=0，Y=0，则F(0+0)=F(0)+F(0)，可得F(0)=0,F(X)+F(-X)=F(X-X)=F(0)=0

2.F(2)=F(1+1)=F(1)+F(1)=-1,F(3)=F(2+1)=F(2)+F(1)=-1.5,F(6)=F(3+3)=F(3)+F(3)=-3，显然这是减函数
所以，最大为-1,最小为-3

Answer 5

证明：（1）令x=y=0 则f(x+y)=f(0+0)=f(0)
f(x)+f(y)=f(0)+f(0)=2f(0)
因f(x+y)=f(x)+f(y) 所以f(0)=2f(0) 所以f(0)=0
令y=-x 则f(x)+f(y)=f(x)+f(-x)=f(x+y)=f(x+-x)=f(0）=0
即f(x)+f(-x)=0
（2）由（1）可知f(0）=0 f(-1+1)=f(-1)+f(1)=0 所以f(-1）=1/2
x＞0时,f(x)＜0 设0＜x＜x+a＜6（a＞0），则
f(x+a)＜0 f(x)＜0 f(a)＜0
所以 f(x+a)=f(x)+f(a)＜f（x）
所以f（x）在【0，6】上逐渐减小
因f(x)+f(-x)=0 所以x关于原点对称（奇函数）
即f（x）在【-2，0）上逐渐减小
所以 f（x）在【-2，6】上的最大值为f（-2） 最小值为f（6）
f（-2）=f(-1-1)=f(-1)+f(-1)=2f(-1)=1
f(6)=f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)+f(1)=6f(1)=-3

Answer 6

解：设圆的方程为x2
＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0
(a)
代入P，Q两点的坐标得2D-4E-F=20
(1)
，3D-E
F=-10
(2).
在式（a）中，
令y＝0得x2
＋Dx＋F＝0
设其2个根分别为x1和x2
,依题意有：|x1－x2|＝√（x1
x2）²-4x1x2=√D²-4F
，
于是得D2－4F=36
（3）
联立（1），（2），（3），解得
D=-2,
E=-4,F=-8
或
D=-6,E=-8,F=0
故所求的方程由x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y
=0
或
，
故所求的方程由x2＋y2－2x－4y－8＝0或x2＋y2－6x－8y
=0。