Question

高一函数【奇偶性】

已知函数f（x）对一切实数x，y∈R都有f（x+y）=f（x）+f（y），且当x＞0时，f（x）＜0，又f（3）=-2
①判断f（x）奇偶性
②试判断函数在R上的单调性
③求f（x）在[-12,12]上的最大最小值

Answer 1

1.令y=x=0,得f(0)=f(0)+f(0)=2f(0),得f(0)=0
再令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)=0,得f(-x)=-f(x)
所以f(x)在R上为奇函数

2.设x1,x2为R上任意两实数，且x1<x2,则x2-x1>0,所以f(x2-x1)<0
由f(x+y)=f(x)+f(y)知
f(x2)=f(x1)+f(x2-x1)
所以f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)<0
即f(x2)<f(x1)
所以f(x)在R上为减函数
感觉给出的f(3)=-2没有用上，是否还有别的问没写出来呀？

f(x)在[-12,12]上的最大值为f(-12)
最小值为f(12)

f(3)=-2.f(x+y)=f(x)+f(y),
f(12)=2*f(6)=4*(f3)=-8
f(-12)=-f(12)=8
所以
f(x)在[-12,12]上的最大值为8
最小值为-8

又搜了一下，这里有参考答案。
http://zhidao.baidu.com/question/70629815.html?fr=ala0

Answer 2

令x=0有
f（y）=f（0）+f（y）
f（0）=0
令x=-y有
f（0）=f（x）+f（-x）
f（x）+f（-x）=0
奇函数
令x大于0
则x+y大于y
f（x+y）=f（x）+f（y）
f（x+y）-f（y）=f（x）＜0
令x+y=x1 y=x2
则x1＞x2
f（x1）小于f（x2）
减函数

Answer 3

(1)令x=y=0，代入f（x+y）=f（x）+f（y）得
f（0）=0
再令y=-x，代入f（x+y）=f（x）+f（y），得
f（0）=f（x）+f(-x)=0
所以f（x）=-f（-x），即函数为奇函数
（2）在定义域内任取x1,x2,且x1<x2
则f（x2）=f（x2-x1+x1）
=f(x2-x1)+f(x1)
所以f（x2）-f(x1)=f(x2-x1)
因为x2-x1>0
所以f(x2-x1)<0
即f（x2）-f(x1）<0
又因为x2>x1
所以函数是在R上递减
(3)令x=y=3
则f（x+y）=f(6)=-4
再令x=y=6
则f（12）=2f(6)=-8
因为函数是奇函数
所以f（-12）=-f（12）=8
又因为函数是减函数
所以在[-12,12]内
函数的最大值是8，最小值是-8

Answer 4

1)令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0),f(0)=0
令x=x,y=-x
f(0)=f(x)+f(-x)
f(x)=-f(-x)
函数在R上为奇函数
2）x>0时，f(x)<0，由函数为奇函数可知，当x<0时，f(x)>0,x=0,f(x)=0
现证明在x<0上f(x)的单调性（由奇函数图像可知x>0单调性）
设x1<x2<0，则x2-x1>0
f(x2-x1)=f(x2)+f(-x1)
由x2-x1>0
得f(x2-x1)<0
得f(x2)+f(-x1)<0
由奇函数知，f(-x1)=-f(x1)
f(x2)-f(x1)<0即f(x2)<f(x1)
可知在(负无穷，0)上，函数单调递减，由奇函数知，（0，正无穷）上,函数单调递减，又f(0)=0,
则函数在R上单调递减