Question

解一道初二的数学题

已知:如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,线段BC的垂直平分线上DE交AB于点D，交BC于点E，DF垂直AC，垂足为F。求证：DF是线段AC的垂直平分线。

Answer 1

证明：
DE是BC的垂直平分线。
∠C=90°
所以DE平行于AC
BE=CE
所以AD=DB(平行线等分线段定理）
DF垂直AC
所以DF平行于BC
因为AD=DB
所以AF=FC(平行线等分线段定理）
即DF是线段AC的垂直平分线

Answer 2

证：∵BE＝CE，DE⊥BC，DF⊥AC，∠C＝ Rt∠
∴∠EDF＝RT∠
∴四边形DECF为矩形
∴DE:AC＝1:2
∴DF是AC的垂直平分线
还可以用全等三角形、相似三角形证明。

Answer 3

因为 DF垂直AC，∠C=90°，DE是线段BC的垂直平分线
所以 DF平行于BC，DE平行于AC
所以 DE=FC
因为 DF平行于BC，DE平行于AC，AD=BD
所以 三角形ADF全等于DBE
所以 DE=AF
所以 FC=AF
所以 DF是线段AC的垂直平分线

Answer 4

因为∠C=90°,DF垂直AC,DE垂直BC，四角形内角和为360度，所以DE垂直DF，由此可知DF平行CE，DE平行FC，即四边形DECF为平行四边形，所以有，DE=CF,DF=CE,∠ADF=∠DBE,又DE为BC的垂直平分线，所以有BE=CE,又DF=CE,所以DF=BE.而∠ADF=∠DBE，∠AFD=∠BED,从而可知三角形AFD全等三角形DEB,所以有AF=DE,又CF=DE,所以AF=CF,而DF垂直AC，所以DF是线段AC的垂直平分线。