Question

已知f(x)是定义在R上且周期为5的函数,y=f(x)(-1<=x<=1)是奇函数,且y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上

已知f(x)是定义在R上且周期为5的函数,y=f(x)(-1<=x<=1)是奇函数,且y=f(x)在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数且在x=2时函数取得最小值-5
1）求f(1)+f(4)
2)求y=f(x),x属于[1,4]的解析式
3)求y=f(x),x属于[4,9]的解析式

Answer 1

(1)因为f(x)是定义在R上且周期为5的函数,所以f(-1)=f(-1+5)=f(4)
又因为y=f(x)(-1<=x<=1)是奇函数，f(1)=-f(-1)
所以f(1)+f(4)=-f(-1)+f(4)=-f(4)+f(4)=0
(2)y=f(x)在[1,4]上是二次函数且在x=2时函数取得最小值-5
相当于已知该段二次函数顶点为（2，-5），用顶点式表示二次函数为：
f(x)=a(x-2)²-5
f(1)=-f(-1)=-f(4),则a(1-2)²-5=-〔a（4-2）²-5 〕a=2.
此时函数解析式：f(x)=2(x-2)²-5=。 f(1)=-3
(3)y=f(x)(-1<=x<=1)是奇函数,定义域包括0，有f(0)=-f(0)=0且y=f(x)在
[0,1]上是一次函数,函数过原点。
所以解析式形如f(x)=kx,且在〔-1，1〕是同一函数。f(1)=-3，k=-3
f(x)=-3x
函数周期为5，所以y=f(x)在〔4，6〕相当于把f(x)=-3x向右平移5个单位，
得f(x)=-3(x-5)=-3x+15;在〔6，9〕上相当于把f(x)=2(x-2)²-5向右平移5
个单位，得f(x)=2(x-5-2)²-5=2(x-7)²-5