Question

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，

如图，菱形ABCD的边长为20cm，∠ABC=120°。动点P、Q同时从点A出发，其中P以4cm/s的速度，沿A→B→C的路线向点C运动;Q以2√3cm/s的速度，沿A→C的路线向C运动。当P、Q到达终点C时，整个运动随之结束，设运动时间为t秒。 （1）在点P、Q运动过程中，请判断PQ与对角线AC的位置关系，并说明理由； （2）若点Q关于菱形ABCD的对角线交点O的对称点为M，过点P且垂直于AB的直线l交菱形ABCD的边AD（或CD）于点N ①当t为何值时，点P、M、N在同一直线上？ ②当点P、M、N不在一直线上时，是否存在这样的t，使得△PMN是以PN为一直角边的直角三角形？若存在，请求出所有符合条件的t值；若不存在，请说明理由。

Answer 1

1）答敏 若0＜t≤5，则AP＝4t，AQ＝23t. 则 APAQ＝4t23t＝233 ， 又∵ AO＝103，AB＝20，∴ ABAO＝20103＝233 . ∴ APAQ＝AB AO，……1分 又∠CAB＝30°，∴△APQ∽△ABO…………2分 ∴∠AQP＝90°，即PQ⊥AC. …………………………………………………3分 当5＜t≤10时，同理可由△PCQ∽△BCO 可得∠PQC＝90°，即PQ⊥AC……4分 ∴ 在点P、Q运动过程中，始终有PQ⊥AC. （2）① 如图，在RtAPM中，易知AM＝83t3，又AQ＝23t， QM＝203－43t.………………………………………5分 由AQ＋QM＝AM 得23t＋203－43t＝83t3……6分 解得t＝307 ………………蚂码………………………………7分 ∴当t＝307时，点P、M、N在一直线上. ② 存在这样的t，使△PMN是以PN为一直角边的直角三角形. 设l交AC于H. 如图1，当点N在AD上时，若PN⊥MN，则∠NMH＝30°. ∴清物枝 MH＝2NH，得 203－43t－23t3＝2×83t3 解得t＝2， …………9分 如图2，当点N在CD上时，若PM⊥MN，则∠HMP＝30°. ∴ MH＝2PH，同理可得t＝ 203 .……………………………………………10分 故当t＝2或 203 时，存在以PN为一直角边的直角三角形.………………