Question

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若 AD=

如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB．（1）求证：AD⊥DC；（2）若 AD= 5 ，DC=2，求sin∠CAB的值以及AB的长．

Answer 1

（1）证明：连接OC． ∵OC=OA， ∴∠CAO=∠OCA． 又∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC=∠CAO， ∴∠DAC=∠CAO， ∴AD ∥ OC． 又∵直线CD与⊙O相切于点C， ∴∠OCD=90°， ∴∠ADC=90°，即AD⊥DC； （2）连接BC． 由（1）知，∠ADC=90°， ∴根据勾股定理知， AC= A D 2 +C D 2 =3 ． ∵AB为圆O的直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠ADC=∠ACB=90°． 又∵∠DAC=∠CAO， ∴△ADC ∽ △ACB， ∴ AD AC = AC AB ，即 5 3 = 3 AB ． ∴ AB= 9 5 5 ， ∴ sin∠CAB=sln∠DAC= DC AC = 2 3 ．

Answer 2

如图：希望你这里的数值没有错AD=5，DC=2，如果AD等于根号5，AC=3,

主要运用了圆切角，圆周角，相似三角形和勾股定理

Answer 3