Question

如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=

如图，AB是⊙O的直径，AC和BD是它的两条切线，CO平分∠ACD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AC=2，BC=3，求AB的长．

Answer 1

（1）证明见解析（2）2

（1）证明：过O点作OE⊥CD，垂足为E， ∵AC是切线，∴OA⊥AC。 ∵CO平分∠ACD，OE⊥CD，∴∠ACO=∠ECO，∠CAO=∠CEO， 又∵OC=OC，∴△ACO≌△ECO（AAS）。∴OA=OE。 ∴CD是⊙O的切线。 （2）解：过C点作CF⊥BD，垂足为F， ∵AC，CD，BD都是切线，∴AC=CE=2，BD=DE=3。 ∴CD=CE+DE=5。 ∵∠CAB=∠ABD=∠CFB=90°，∴四边形ABFC是矩形。 ∴BF=AC=2，DF=BD﹣BF=1。 在Rt△CDF中，CF 2 =CD 2 ﹣DF 2 =5 2 ﹣1 2 =24，∴AB=CF=2 。 （1）过O点作OE⊥CD于点E，通过角平分线的性质得出OE=OA即可证得结论。 （2）过点D作DF⊥BC于点F，根据切线的性质可得出DC的长度，从而在Rt△DFC中利用勾股定理可得出DF的长，可得出AB的长度。