Question

已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）当x＞2时，f（x）＞kx-2k恒成立

已知函数f（x）=xlnx（Ⅰ）求f（x）在[t，t+1]（t＞0）上的最小值；（Ⅱ）当x＞2时，f（x）＞kx-2k恒成立，求正整数k的最大值．（e为自然对数的底数，e≈2.71828…）

Answer 1

（I）∵f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
由f'（x）=lnx+1=0，得：x＝

1

e

．
当x∈(0，

1

e

)时，f'（x）＜0，当x∈(

1

e

，+∞)时，f'（x）＞0，
∴f（x）在(0，

1

e

)内单调递减，在(

1

e

，+∞)上单调递增．
∴当0＜t≤

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上的最小值为f(

1

e

)＝?

1

e

，
当t＞

1

e

时，f（x）在[t，t+1]上单调递增，∴f（x）的最小值为tlnt．
∴f(x)min＝

? 1 e ， 0＜t≤ 1 e tlnt， t＞ 1 e

；
（II）当x＞2时，f（x）＞kx-2k恒成立可转化为k＜

xlnx

x?2

恒成立，
令g(x)＝

xlnx

x?2

，(x＞2)，g′(x)＝

(lnx+1)(x?2)?xlnx

(x?2)2

＝

?2lnx+x?2

(x?2)2

，
令h(x)＝?2lnx+x?2，h′(x)＝?

2

x

+1＞0，∴h（x）在（2，+∞）上单调递增，
∵h（5）=-2ln5+3＜0，h（6）=-2ln6+4＞0，
∴存在唯一的实数x₀∈（5，6），使h（x₀）=0，
即-2lnx₀+x₀-2=0，
当x∈（2，x₀）时，g'（x）＜0，当x∈（x₀，+∞）时，g'（x）＞0．
∴g（x）在（2，x₀）内单调递减，在（x₀，+∞）上单调递增，
∴g(x)min＝g(x0)＝

x0lnx0

x0?2

＝

x0lnx0

2lnx0

＝

x0

2

．
∵

5

2

＜

x0

2

＜3，∴正整数k的最大值为2．