已知函数f（x）=xlnx（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x2-ax+2恒成
已知函数f（x）=xlnx（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x2-ax+2恒成立，求实数a的取值范围；（3）试判断函数y＝lnx...
已知函数f（x）=xlnx（1）求函数f（x）的最小值；（2）若对一切x∈（0，+∞），都有f（x）≤x2-ax+2恒成立，求实数a的取值范围；（3）试判断函数y＝lnx?1ex+2ex是否有零点？若有，求出零点的个数；若无，请说明理由．
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（1）f（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），f'（x）=lnx+1，
故x∈（0，
）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；
x∈(
，+∞)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
∴x＝
时，f（x）取得最小值f(
)＝?
；
（2）由f（x）≤x2-ax+2得：xlnx≤x2-ax+2，
∵x＞0，∴a≤x?lnx+
，
令g(x)＝x?lnx+
，
g′(x)＝1?
?
＝
=
(x＞0)，
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
∴[g（x）]min=g（2）=3-ln2，
∵对一切x∈（0，+∞），都有a≤x?lnx+
恒成立，
∴a∈（-∞，3-ln2]；
（3）令lnx?
+
＝0，则xlnx＝
?
，即f(x)＝
?
，
由（1）知当x∈（0，+∞）时，f(x)min＝f(
)＝?
，
设h(x)＝
?
(x＞0)，则h′(x)＝
，
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h(x)max＝h(1)＝?
．
∴对一切x∈（0，+∞），f（x）＞h（x），即lnx?
故x∈（0，
| 1 |
| e |
x∈(
| 1 |
| e |
∴x＝
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
（2）由f（x）≤x2-ax+2得：xlnx≤x2-ax+2，
∵x＞0，∴a≤x?lnx+
| 2 |
| x |
令g(x)＝x?lnx+
| 2 |
| x |
g′(x)＝1?
| 1 |
| x |
| 2 |
| x2 |
| x2?x?2 |
| x2 |
| (x?2)(x+1) |
| x2 |
当x∈（0，2）时，g′（x）＜0，g（x）单调递减；
当x∈（2，+∞）时，g′（x）＞0，g（x）单调递增；
∴[g（x）]min=g（2）=3-ln2，
∵对一切x∈（0，+∞），都有a≤x?lnx+
| 2 |
| x |
∴a∈（-∞，3-ln2]；
（3）令lnx?
| 1 |
| ex |
| 2 |
| ex |
| x |
| ex |
| 2 |
| e |
| x |
| ex |
| 2 |
| e |
由（1）知当x∈（0，+∞）时，f(x)min＝f(
| 1 |
| e |
| 1 |
| e |
设h(x)＝
| x |
| ex |
| 2 |
| e |
| 1?x |
| ex |
当x∈（0，1）时，h′（x）＞0，h（x）单调递增，
当x∈（1，+∞）时，h′（x）＜0，h（x）单调递减．
∴h(x)max＝h(1)＝?
| 1 |
| e |
∴对一切x∈（0，+∞），f（x）＞h（x），即lnx?
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