Question

（2013?天津）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1

（2013?天津）如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱A1A⊥底面ABC，且各棱长均相等．D，E，F分别为棱AB，BC，A1C1的中点．（Ⅰ）证明：EF∥平面A1CD；（Ⅱ）证明：平面A1CD⊥平面A1ABB1；（Ⅲ）求直线BC与平面A1CD所成角的正弦值．

Answer 1

证明：（I）三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，AC∥A₁C₁，AC=A₁C₁，连接ED，
可得DE∥AC，DE=

1

2

AC，又F为棱A₁C₁的中点．∴A₁F=DE，A₁F∥DE，
所以A₁DEF是平行四边形，所以EF∥DA₁，
DA₁?平面A₁CD，EF?平面A₁CD，∴EF∥平面A₁CD
（II）∵D是AB的中点，∴CD⊥AB，
又AA₁⊥平面ABC，CD?平面ABC，
∴AA₁⊥CD，又AA₁∩AB=A，
∴CD⊥面A₁ABB₁，又CD?面A₁CD，
∴平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁；
（III）过B作BG⊥A₁D交A₁D于G，
∵平面A₁CD⊥平面A₁ABB₁，且平面A₁CD∩平面A₁ABB₁=A₁D，
BG⊥A₁D，
∴BG⊥面A₁CD，
则∠BCG为所求的角，
设棱长为a，可得A₁D=

5

2

a，由△A₁AD∽△BGD，得BG=

5

5

a，
在直角△BGC中，sin∠BCG=

BG

BC

=

5

5

，
∴直线BC与平面A₁CD所成角的正弦值

5

5

．