Question

一道高中数学题，关于椭圆的，等待高人解答。

椭圆中心在原点，焦点在X轴上，离心率e=根号3/2，它与直线X+Y=1交于P、Q两点，且OP垂直于OQ，求椭圆方程。

Answer 1

∵椭圆中心在原点，焦点在X轴上，
∴可设椭圆的方程为x²/a²+y²/b²=1，（a>b>0）.
∵椭圆的离心率为√3/2，
∴c/a=√3/2，代入a²=b²+c²，
得a=2b，
∴椭圆的方程为x²/(4b²)+y²/b²=1.

设P(x1，y1)，Q(x2，y2)
把椭圆和直线的方程联列方程组，消去y，得
5x²-8x-4b²+4=0
∴x1+x2=8/5，x1x2=(-4b²+4)/5，

y1y2=(-x1+1)(-x2+1)=x1x2-(x1+x2)+1
=(-4b²+4)/5-8/5+1
=(-4b²+1)/5

∵OP⊥OQ，
∴x1x2+y1y2=0，
(-4b²+4)/5+(-4b²+1)/5=0
得b²=5/8，a²=5/2，
∴椭圆方程为2x²+8y²=5.

Answer 2

打错了位置了