Question

如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF（1）证明四边形ADEF

如图，以△ABC的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD、△BCE、△ACF（1）证明四边形ADEF是平行四边形．（2）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF为矩形．（3）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF不存在．（4）当△ABC满足条件______时，四边形ADEF为菱形．

Answer 1

证明：（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形， ∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE． 在△ABC和△DBE中 AB=BD ∠ABC=∠DBE BC=BE ， ∴△ABC≌△DBE（SAS）． ∴DE=AC． 又∵AC=AF， ∴DE=AF． 同理可得EF=AD． ∴四边形ADEF是平行四边形． （2）∵四边形ADEF是平行四边形， ∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形， ∴∠FAD=90°． ∴∠BAC=360°-∠DAF-∠DAB-∠FAC=360°-90°-60°-60°=150°． 则当∠BAC=150°时，四边形ADEF是矩形； 故答案为：∠BAC=150°； （3）当∠BAC=60°时，∠DAF=180°， 此时D、A、F三点在同一条直线上，以A，D，E，F为顶点的四边形就不存在； 故答案为：∠BAC=60°； （4）当AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形， 理由是：由（1）知：AD=AB=EF，AC=DE=AF， ∵AC=AB， ∴AD=AF， ∵四边形ADEF是平行四边形，AD=AF， ∴平行四边形ADEF是菱形． 故答案为：AB=AC且∠BAC≠60°（或AB=AC≠BC）．

Answer 2

（1）∵△ABD，△BCE都是等边三角形，
∴∠DBE=∠ABC=60°-∠ABE，AB=BD，BC=BE．
在△ABC和△DBE中

AB=BD∠ABC=∠DBEBC=BE    

 ，
∴△ABC≌△DBE（SAS）．
∴DE=AC．
又∵AC=AF，
∴DE=AF．
同理可得EF=AD．
∴四边形ADEF是平行四边形．

（2）∵四边形ADEF是平行四边形，
∴当∠DAF=90°时，四边形ADEF是矩形，
∴∠FAD=90°．