Question

以△ABC的三边为边，在BC的同侧作三个等边△ABD，△BEC，△ACF。证明（1）ADEF为平行四边形。

（2）当△满足什么条件时，ADEF是菱形？矩形？

Answer 1

先证明△BDE≌△BAC，可得DE=AC,，而AC=AF，故AF=DE，同理，AD=EF，四边形ADEF为平行四边形。
证明：∵△ABD，△BEC，△ACF是等边三角形
∴BD＝AB，BC＝BE，AC＝AF，∠ABD＝∠EBC＝60°
∴∠ABD－∠ABE＝∠EBC－∠ABE
即∠EBD＝∠ABC
在△BDE和△BAC中
BD＝AB，∠EBD＝∠ABC，BC＝BE
∴△BDE≌△BAC
∴DE＝AC，
又∵AC＝AF
∴DE＝AF
同理，AD＝EF
∴四边形ADEF是平行四边形
（2）要使平行四边形ADEF是菱形，则需一组临边相等，如AD＝AF，那需AB＝AC，所以AB＝AC时四边形ADEF是菱形。
要使平行四边形ADEF是矩形，则需要有一个内角是直角，如∠DAF＝90°，又∠DAB＝∠FAC＝60°，所以∠BAC＝150°

Answer 2

（1）在△ABC和△DBE中
AB=AD
∠ABC=∠EBC-∠EAB，∠DBE=∠DBA-∠EBA
因为∠EBC=∠DBE=60°
所以∠ABC=∠DBE
BC=BE
因此△ABC≌△DBE，DE=AC。
△ACF是等边三角形，所以AF=AC=DE
在△ABC和△FEC中
AC=FC
∠ACB=∠ECB-∠ECA
∠FCE=∠FCA-∠ECA
因为∠ECB=∠FCA=60°
所以∠ACB=∠FCE
BC=EC
因此△ABC≌△FEC，EF=AB
因为△ABD是等边三角形，所以AD=AB=EF
四边形ADFE两组对边分别相等，是平行四边形

（2）如果平行四边形ADEF是矩形，则∠DAF=90°
因为∠DAF=360°-∠DAB-∠FAC-∠BAC=240°-∠BAC
所以∠BAC=150°当△ABC中∠BAC=150°，四边形ADEF是矩形

（3）当△ABC满足AB=AC且∠BAC≠60°时，四边形ADEF是菱形
理由：由AB=AD,AC=AF,AB=AC得AD=AF
由①四边形ADEF是平行四边形
所以四边形ADEF是菱形.(之所以∠BAC≠60°是因为当∠BAC=60°时,∠DAF=360°-60°-60°-60°=180°。即D、A、F三点共线，四边形ADEF不存在)